Olympiades de math 5-6

Dans la figure ci-contre, les cercles, de rayon 1, sont centrés sur les sommets du carré ou sur les milieux de ses côtés. Chaque cercle est tangent à ses deux voisins. Quelle est l’aire de la surface ombrée, délimitée par des arcs de ces cercles?

La suite 1+12^2 ; 2+2^2 ; 3+3^2 ; … est obtenue en ajoutant n^2 à n, pour chaque nombre naturel n non nul. Que vaut la différence entre le 100e et le 99e terme de cette suite ?

Un nombre à trois chiffres s’écrit CDU, où C est le chiffre des centaines, D est le chiffre des dizaines et U est le chiffre des unités. Si C = D + 1 et D = U + 1, que vaut CDU - UDC ?

Quelle est l’écriture décimale de 11/27?

Que vaut cos^2 (sin π/4) = sin^2 (cos π/4)?

Ayant une table à quatre places, Wulfric invite ses amis trois par trois à manger. Après sept repas, toute paire d’invités a mangé une et une seule fois ensemble. Combien d’amis Wulfric a-t-il invités à manger ?

Dans le parallélogramme ABCD, les coordonnées de trois sommets sont A = (-1,2), B = (3,1) et C = (2,-2). L’équation de la diagonale BD est:

Lorsque le polynôme x^3 + ax^2 + x est divisé par x - 3, le reste est 21. Que vaut le reste lorsque ce polynôme est divisé par x - 1?

Quel est le chiffre des unités de (66^66)/2?

Un questionnaire à choix multiple (QCM) est composé de 10 questions comportant chacune 5 propositions de réponses. Pour chaque question, une seule réponse doit être choisie. Combien de personnes doivent répondre au QCM pour qu’il soit certain que deux d’entre elles (au moins) ont exactement les mêmes réponses ?

Une école, durant l’été, a engagé trois groupes de peintres pour repeindre les classes. Le groupe d’Alicia, qui compte 4 peintres professionnels et 3 peintres jobistes, a peint 5 classes en 4 jours. Celui de Brahim, qui compte 5 professionnels et 4 jobistes, a peint 8 classes en 5 jours. Le groupe de Chloé, qui compte 9 professionnels et 8 jobistes, avait 9 classes à peindre ; en combien de temps a-t-il effectué son travail ? (Tous les peintres professionnels peignent à la même vitesse et tous les jobistes également, et toutes les classes sont identiques.)

Le carré ABCD est de côté 6. Les droites CE et DF sont tangentes au demi-cercle de diamètre [AB], en P et Q respectivement, et I est leur point d’intersection. Quelle est l’aire du triangle CDI ?

Le nombre monstrueux N s’écrit avec la suite de tous les chiffres des naturels de 1 à 2020 :

N = 123456789101112…201820192020.

De quel naturel provient le chiffre du milieu de N ?

Une urne contient trois boules rouges et trois boules noires. Trois personnes se répartissent les boules au hasard, en en prenant deux chacune. Quelle est la probabilité que chacune ait deux boules de couleurs différentes?

Le triangle ABC est isocèle, de base [BC] de longueur 8. Le point O, intérieur au triangle, est à distance 3 de chacun de ses côtés. Quelle est l’aire du triangle ABC ?

Parmi les fractions 1/2020, 2/2020, 3/2020. . ., 2019/2020, 2020/2020, combien sont irréductibles ?

Toutes les cinq minutes, une rame de métro part de A vers B en même temps qu’une autre rame part de B vers A. Les rames roulent à la vitesse constante de 50 km/h jusqu’à respectivement B et A puis poursuivent leur trajet au-delà. Si la distance de A à B est 20 km, combien de rames sont croisées par une rame pendant son trajet de A à B ?

0,121212… + 0,232323… + 0,343434… + 0,454545… + 0,565656… + 0,676767… + 0,787878… + 0,898989… =

Un triangle a un côté de longueur 10 et la hauteur correspondante mesure 8. Si les longueurs des deux autres côtés ont pour somme 20, quelles sont-elles ?

Une boule (sphérique) se trouve dans le coin d’une pièce, posée sur le sol (horizontal) et appuyée contre deux murs (verticaux et perpendiculaires l’un à l’autre et au sol). Un point de la surface de la boule se trouve à 5 cm du sol et à 8 cm et 9 cm des murs. Ce point est plus proche du coin de la pièce que le centre de la boule. Quel est, en centimètres, le rayon de la boule ?